数学教学策略中的悖论驱动
闫向洲
甘肃省张掖市山丹县清泉学校 734100
悖论的矛盾性决定了其具有强烈的挑战性，在数学教学中巧妙地、恰当的设置练习性悖论能够激发学生的惊讶、兴趣，进而激起学生的探索、研究，促使学生以应战者的角色进入积极主动的学习状态；以应战的行为所取得经验和成果能够留下更加深刻的记忆；因此，在教学中巧妙地设置悖论能够极大地驱动学习的主动性和探究性，是一种重要的教学策略。
1. 利用悖论刺激，预防错误的默认
甲班50人，每人植树2棵，乙班50人，每人植树4棵，问甲、乙两个班平均每人植树多少棵？
由于两个班的人数相同，所以(2+4)/2=3就是正确答案。受此类问题影响，对于下述问题会有怎样的解法。
由A到B（50公里）速度每小时20公里，返回时（50公里）速度每小时40公里，求往返的平均速度。
由于往返路程相同，很容易有一个错误的默认(20+40)/2=30，对于这样的错误默认，即使给出正确的运算公式：往返平均速度=（2×两地距离）÷(两地距离/去时速度+两地距离/返回速度)，仍然可能认为两者都是正确的。
如果我们给出问题：某人从甲地去乙地再返回，去时速度为每小时40千米，往返的平均速度每小时20千米，求返回速度。
解题者如果按照错误的默认：两地之间往返的平均速度=（去时速度+返回速度）÷2，进行计算，会得到返回速度为零。不可避免地产生了一个悖论：“静止不动都可以返回”，在这样的悖论刺激下，往往会深入探究这一问题，最终会刻骨铭心地认识到前面的默认是错误的。这种以产生悖论的方式来预防错误默认的措施会收到特别理想的效果。
教学中针对一些容易产生的错误默认设计悖论，或设计依靠错误默认解题者可自行推出悖论的问题，用这样的悖论或解题过程中会产生悖论的问题来刺激学生，进而产生对相关错误默认的“免疫能力”。
2. 利用悖论培养思维的严谨性
如果在推理运算的过程中得到了“-1＞1”这样的悖论，必然会引起高度重视，不得不对推理运算过程进行严格审查。
我们知道：若ad=bc≠０ ,则有a/b=c/d，且当a＞b时c＞d ，现在设a=d=1 ,b=c=-1 ,此时有ad=bc ,所以有a/b=c/d，由于有a＞b ，所以有c＞d ，即-1＞1 ，发生错误的原因是 。
在悖论“-1＞1”的“压力”下，发现“若ad=bc≠０ ,则有a/b=c/d，且当a＞b时c＞d”的适用范围的过程是一个很好地思维严谨性的训练过程。
针对容易忽视的公式、法则、规律的适用范围或条件，设计超范围使用导致的悖论，不仅能够深化理解，更能够培养思维的严谨性。
3. 利用悖论提升思维的批判性
有三位顾客付钱结账，餐费25英镑。他们给费用30英镑。服务员找还给他们5英镑，三位顾客收下3英镑，将2英镑给服务员做了小费。这样三位顾客每人实际付出的钱是9英镑，总共为27英镑，而服务员收下的是2英镑，计算一下：27+2=29英镑。可是，顾客们当时给服务员的是30英镑。有一英镑钱失踪了！
这里的悖论是说30英镑只有29英镑的去向，一英镑没有了。只要你的思维的出发点是寻找消失的1英镑，那你就逃不出这个问题的陷阱。由于你无论如何都找不到消失的1英镑，这种没有出路的绝境会强迫你不得不思考这个问题是否有意义，从而逼出思维的批判性，迫使你考虑27+2=29不一定反映了一个实质性的关系，质疑它能说明什么？27是三位顾客实际支付的钱，2是服务员收下的小费，是包含在27之中的，27与2的和没有任何实际意义，所以，这个等式没有反映出这个问题中的任何等量关系，也就不存在30英镑差1英镑的问题。其实30英镑=餐费25英镑+退还的5英镑=餐费25+顾客收下的3英镑+服务员小费2英镑
上述过程中，思维的批判性被强制性地提升，并且培养了寻找正确等量关系的能力，而这种能力是列方程解决应用问题的重要前提。
4. 利用悖论激发惊讶、激起探索、提升思维的辨析性
“19×1/2=10” ，有例为证：
一位老人留下遗嘱：把19头牛分给三个儿子。老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5。老人死后，三兄弟无法分牛，舅舅借给一头牛，共20头牛，老大分得10头，老二分得5头，老三分得4头，剩下的一头牛舅舅牵回。因为舅舅的牛并没有被分，被分的还是19头，所以老大分了19头的一半就得到了10头，由此可得19×1/2=10.
还有人给这个问题给出了不借牛的解法：
设老大分得x头，则老二应分得x/2头，老三应分得2x/5头。依题意有：x+x/2+2x/5=19,解得x=10,仍然是老大10头，老二5头，老三4头。
这种解法没有借牛，老大分总数的1/2仍然分得10头，还是有19×1/2=10 ，那么对于老二、老三还可得出19×1/4=5 ,19×1/5=4，问题出在哪里？
这里，从一个传统问题的解答中引出了三个悖论“19×1/2=10”、“ 19×1/4=5”、“ 19×1/5=4”，这样的悖论会激发人们的惊讶、迫使人们不得不质疑这个问题及解法，对这个问题进行进一步地思考和探索。
应对悖论，经过严谨地分析，会得出以下结论：在舅舅借牛的分法中，舅舅借给的一头牛并不是老人遗嘱中要处置的牛，所以这种分法并不是严格执行老人的遗嘱，不过，因为借牛改变了牛的总数，使得分配易于进行；最后舅舅牵走了一头牛，体现出兄弟三人的分配是有剩余的分配，这是由于1/2+1/4+1/5=19/20≠1。也就是说兄弟三人只分配总数的19/20，有1/20的剩余，舅舅借牛之后总数成为20，最后牵走的一头牛刚好是剩余的1/20。老人在遗嘱中并没有指明有剩余，也没有指明如何处置剩余，因此老人的遗嘱本身就不完整。
再来看不借牛的解法：老大分得的设为x头，老二应分得x/2头、老三应分得2x/5头是与老大的x比较得来的。而方程x+x/2+2x/5=19表明三人分了19头牛,显然，这里默认了一个规则：兄弟三人把牛分完，但是，严格按照老人的遗嘱，是不能把牛分完的，所以这种解法是钻了遗嘱漏洞的空子。
上述过程经历了看到悖论“19×1/2=10”时的惊讶和寻求产生悖论原因的探索，整个解悖过程是一个严谨的辨析、探索过程，在这样的过程中思维的严谨性得以强化、辨析性得以提升。
（备注：该文系甘肃省教育科学规划课题[ZY2017-923 ]研究成果）
