直线方程的参数式及应用举例
李伯臣
(四川省平昌中学)
一、直线的参数方程的标准式
已知直线L过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α，P(x，y)为直线L上任意一点（如图），P0P＝(x－x0，y－y0) b＝(cosα，sinα)，则向量P0P与b共线。根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t使得：P0P＝t·b
即：(x－x0，y－y0)＝t(cosα，sinα)
所以： x＝x0＋tcosα ①
y＝y0＋tsinα ②
上式称为直线L的参数方程的标准式。
注意：⑴∵α∈[ 0，π)
∴①中系数cosα∈（-1，1 ]
②中系数sinα∈[0，1] 易知，sin2α＋cos2α＝1
⑵ t的几何意义是定点P0(x0，y0)到动点P(x，y)的有向线段的数量，t＝P0P
若规定直线L向上（右）的方向为正方向的条件下，P在P0的上方（或右方）时t＞0；P在P0的下方（或左方）时t＜0；当P与P0重合时t＝0。
二、直线参数方程的一般式
设直线L过P0(x0，y0)，r＝（a，b）是它的一个方向向量，P(x，y)是直线L上的任意一点，则向量P0P与r共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t，使P0P＝t·r
即：(x－x0，y－y0)＝t (a，b)
所以： x＝x0＋at ①
y＝y0＋bt ②
上式称为直线L的参数方程的一般式。
⑴ 若a2＋b2＝1，则当b≥0时，t与标准式中的t有相同的几何意义。
当b＜0时，令t＝－t'，则t'与标准式中的t有相同的几何意义。
⑵ 若a2＋b2≠1，则当b≥0时
x＝x0＋at＝x0＋·t
y＝y0＋bt＝y0＋·t
作变换t＝t'，则
x＝x0＋t'
y＝y0＋t'
此时t'与标准式中的t有相同的几何意义
当b＜0时，
x＝x0－at＝x0－·（－t）
y＝y0－bt＝y0－·（－t）
作变换t'＝－t，则
x＝x0－t'
y＝y0－t'
此时t'与标准式中t具有相同的几何意义。
三、例题
例1：已知过点P0（－1，2）的直线L的参数方程为：
x＝－1＋3t (t为参数)
y＝2－4t
求点P0到直线L与另一直线2x－y＋1＝0的交点P的距离。
解：∵＝＝5≠1
∴此直线的参数方程不是标准式。
令t'＝－5t化为标准式为：
x＝－1－t' (t'为参数)
y＝2＋t'
将上式代入2x－y＋1＝0得，交点P对应的参数t'满足：
2(－1－t')－(2＋t')＋1=0
∴t'＝－
根据直线的标准式参数方程的几何意义可知：|P0P|＝|t'|＝
例2：过点M（2，1）作直线L交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，求：1、|MA|、|MB|的最小值；2、当1取得最小值时，求直线L的方程。
解：1、设直线L的倾斜角为θ，根据题意，θ∈（，π）
直线L的参数方程为：
所以： x＝2＋tcosθ ①
y＝1＋tsinθ
又x、y轴的方程为 xy＝0 ②
将①代入②得：
sinθcosθt2＋（2sinθ＋cosθ)＋2＝0 ③
∵MA＝t1 MB＝t2
∴t1、t2是③的两根
由韦达定理得：t1·t2＝＝
∴|MA|·|MB|＝|t1|·|t2|＝
当①取得最小值时，θ＝时，|MA|·|MB|的最小值为4。
2、当1取得最小值时，θ＝，此时，直线L的方程为：
x＝2＋tcos
y＝1＋tsin
即 x＝2－t
y＝1＋t
消去参数t得：x＋y－3＝0
即为所求直线L的方程。
例3：已知直线y＝2x＋m和双曲线x2－y2＝1交于A、B两点，P是这条直线上的点，且满足|PA|·|PB|＝3。
求：当m变化时P点的轨迹方程
解：设P点坐标为（x0，y0），把点P看作定点，建立直线的参数方程。
∵已知直线的斜率k＝tanα＝2（其中α为直线的倾斜角）
∴cosα＝＝＝
sinα＝＝
∴直线的参数方程为： x＝x0＋t
y＝y0＋t
将其代入x2－y2＝1得
t2＋t＋(1＋y02－x02)＝0 *
∵ |PA|·|PB|＝3
∴||＝3
∴5 y02－5x02＋5＝±9
即5 y02－5x02＝4 或5x02－5 y02＝14
又直线与双曲线有两个交点的充要条件是：
△＞0
即()2－4××(1＋y02－x02)＞0
∴(2x0－y0)2＞3
∴y0＞2x0＋ 或y0＜2x0－
当m发生变化时，P发生变化，P点的轨迹方程为：
5 y2－5x2＝4或5x2－5 y2＝14（y＞2x＋ 或y＜2x－）
