浅谈双曲线及其渐近线之间的关系
◎ 曹雪妮
摘要：双曲线 的渐近线方程为 ，双曲线 的渐近线方程为 . 由双曲线方程可找到其渐近线，利用渐近线也可写出双曲线方程，还可较准确的画出双曲线的草图.
关键词：双曲线 渐近线
渐近线是双曲线的几何性质之一，它与双曲线有着密不可分的关系.
下面就双曲线及其渐近线之间的关系简单作以总结：
一、渐近线对双曲线开口大小的影响
当焦点在 轴上时， 为渐近线方程 的斜率， 增大，渐近线与实轴的夹角增大，则双曲线的开口增大；当焦点在 轴上时， 为渐近线方程 的斜率， 增大，渐近线与实轴的夹角增大，双曲线的开口反而变小. 综上所述，无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上， 越大，双曲线的开口越大.
二、等轴双曲线 的渐近线
等轴双曲线 中，实轴长与短轴长相等，所以无论是焦点在 轴上，还是焦点在 轴上，其渐近线方程都为 .
三、双曲线参数方程下的渐近线
当焦点在 轴上时，双曲线的参数方程为 ，其渐近线方程为 ；当焦点在 轴上时，双曲线的参数方程为 ，其渐近线方程为 .
例如：求双曲线 两条渐近线的夹角.
分析 设双曲线的普通方程为 ，
由双曲线的参数方程可知： .
故 渐近线的斜率分别为 ，即 .
因此，渐近线与实轴的夹角为 .
所以两条渐近线的夹角为 .
所以无论焦点在什么位置，双曲线的渐近线的斜率都和参数方程中函数 的三角函数式的系数与函数 的三角函数式的系数的比值有关.
所以，对于上题：求双曲线 两条渐近线的夹角.
分析 只需考虑两函数中三角函数式的系数的比值即可.
由双曲线的参数方程可知：
渐近线的斜率分别为 ，即 .
因此，渐近线与实轴的夹角为 .
所以两条渐近线的夹角为 .
四、渐近线方程相同的双曲线
例如： 的渐近线方程为： ；
的渐近线方程为： ；
的渐近线方程为： ；
的渐近线方程为： .
上述四个双曲线的渐近线方程均为 ，所以我们可以认为渐近线方程相同的双曲线为同一系列的双曲线.
因此，同一系列的双曲线方程可设为 ，其渐近线方程为 ，与焦点位置无关.
比如，已知双曲线与 渐近线相同，可将所求双曲线方程设为 .
又如，已知双曲线的渐近线方程为 ，可将双曲线方程设为： .
由此可见，若所求双曲线与已知双曲线的渐近线方程相同时，可利用 形式来设方程，更方便我们解决这类问题，亦便于计算.
所以，在求双曲线的方程和画双曲线的草图时，其渐近线起到了一个关键性的作用，若能熟练掌握它们之间的关系，为我们今后研究双曲线的问题便奠定了一个坚实的基础.
参 考 文 献
1． 严士健.王尚志.数学1-1（选修）.师范大学出版社，2007.
2． 严士健.王尚志.数学4-4（选修）. 师范大学出版社，2007.
3． 庄亚栋.高中数学教与学.中学数学教与学，2011（11．9）.
（作者单位：陕西省彬州市范公中学）
